22개정 · 함수의 극한과 연속
함수의 연속
연속은 그래프가 이어져 보인다는 직관을 함수값과 극한값의 관계로 정확하게 표현한 개념입니다. 한 점에서의 세 조건을 순서대로 확인하고, 조각함수·구간의 끝점·불연속 유형까지 같은 기준으로 판정해 봅시다.
학습 목표
- 함수가 한 점에서 연속이기 위한 세 조건을 설명할 수 있습니다.
- 함수값, 좌우극한, 양쪽 극한을 구분하여 연속 여부를 판정할 수 있습니다.
- 조각함수가 경계점에서 연속이 되도록 미지의 상수를 결정할 수 있습니다.
- 제거가능·점프·무한·진동 불연속을 실패한 조건과 연결할 수 있습니다.
- 열린구간과 닫힌구간에서 연속이라는 말의 차이를 이해할 수 있습니다.
연속 판정 순서
- \(f(a)\)가 정의되어 있는지 확인합니다.
- 좌극한과 우극한을 구해 같은지 확인합니다.
- 양쪽 극한이 존재하면 그 값과 \(f(a)\)가 같은지 비교합니다.
세 단계 중 하나라도 실패하면 \(x=a\)에서 불연속입니다. 그래프가 “끊겨 보인다”는 표현에서 멈추지 말고 어느 조건이 실패했는지 밝혀야 합니다.
1. 한 점에서의 연속
함수 \(f\)가 \(x=a\)에서 연속이라는 것은 다음 세 조건을 모두 만족한다는 뜻입니다.
- 함수값 \(f(a)\)가 정의되어 있습니다.
- 유한한 극한값 \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\)가 존재합니다.
- 극한값과 함수값이 같습니다.
이 한 줄에는 함수값의 존재와 양쪽 극한의 존재가 이미 전제되어 있습니다. 식만 외우기보다 세 조건을 함께 확인하세요.
2. 세 조건은 서로 다른 질문
| 확인할 값 | 그래프에서 보는 곳 | 실패하는 대표 상황 |
|---|---|---|
| \(f(a)\) | \(x=a\)에 있는 닫힌 점 | 점이 없어서 함수값이 정의되지 않음 |
| \(\lim_{x\to a}f(x)\) | 왼쪽과 오른쪽 곡선이 향하는 높이 | 점프·무한 증가·진동으로 하나의 유한값이 없음 |
| 두 값의 일치 | 접근 높이와 닫힌 점의 높이 비교 | 극한은 존재하지만 닫힌 점이 다른 높이에 있음 |
3. 기본 예제 — 다항함수
문제: \(f(x)=x^2-2x+3\)이 \(x=2\)에서 연속인지 확인하세요.
함수값: \(f(2)=4-4+3=3\)
극한값: 다항식의 각 항에 극한의 사칙연산을 적용하면
결론: 극한값과 함수값이 모두 3이므로 \(f\)는 \(x=2\)에서 연속입니다.
4. 구멍이 있는 함수
문제: \(g(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}\)가 \(x=2\)에서 연속인지 판단하세요.
원래 식은 \(x=2\)에서 분모가 0이므로 \(g(2)\)가 정의되지 않습니다. 주변에서는 \(g(x)=x+2\;(x\ne2)\)이므로 극한값은 4입니다.
결론: 첫 번째 조건이 실패하므로 불연속입니다. 새로 \(g(2)=4\)라고 정의하면 그 점의 불연속을 제거할 수 있습니다.
5. 함수값이 극한값과 다른 경우
조건: \(\lim_{x\to1}h(x)=5\), \(h(1)=-2\)
함수값과 극한값이 모두 존재하지만 서로 다릅니다.
결론: 세 번째 조건이 실패하므로 \(h\)는 \(x=1\)에서 불연속입니다.
닫힌 점이 있다는 사실만으로 연속이라고 판단하면 안 됩니다. 주변 곡선이 닫힌 점의 높이로 접근하는지도 확인해야 합니다.
6. 조각함수의 경계점
문제: 다음 함수가 \(x=1\)에서 연속이 되도록 상수 \(k\)를 구하세요.
왼쪽 식에서 좌극한은 3이고, 오른쪽 식에서 우극한과 함수값은 모두 \(k+2\)입니다.
연속이려면 세 값이 같아야 하므로 \(3=k+2\)입니다.
답: \(k=1\)
7. 조각함수 판정의 핵심
각 조각 내부에서는 익숙한 다항식이나 분수식이 연속인 경우가 많으므로, 식이 바뀌는 경계점을 우선 확인합니다.
- 경계점 왼쪽의 식으로 좌극한을 계산합니다.
- 경계점 오른쪽의 식으로 우극한을 계산합니다.
- 등호가 포함된 조각에 경계값을 대입해 함수값을 구합니다.
- 세 값을 한 줄에 놓고 비교합니다.
좌우 식을 바꾸어 대입하거나, 등호가 없는 조각에서 함수값을 구하는 실수를 조심하세요.
8. 불연속의 대표 유형
| 유형 | 극한과 함수값의 특징 | 한 점의 값만 바꾸어 고칠 수 있는가? |
|---|---|---|
| 제거가능 불연속 | 유한한 극한은 존재하지만 함수값이 없거나 극한값과 다름 | 가능 |
| 점프 불연속 | 좌극한과 우극한이 서로 다른 유한값 | 불가능 |
| 무한 불연속 | 적어도 한쪽에서 함수값의 크기가 제한 없이 커짐 | 불가능 |
| 진동 불연속 | 목표점에 가까워져도 하나의 값으로 모이지 않고 계속 진동함 | 불가능 |
유형 이름보다 중요한 것은 어떤 연속 조건이 실패했는지를 극한 기호로 설명하는 것입니다.
9. 구간에서의 연속
함수가 열린구간 \((a,b)\)에서 연속이라는 것은 그 구간의 모든 점에서 연속이라는 뜻입니다.
닫힌구간 \([a,b]\)에서는 내부점뿐 아니라 양 끝점의 정의역 방향을 고려합니다.
왼쪽 끝점 \(a\)에서는 오른쪽에서, 오른쪽 끝점 \(b\)에서는 왼쪽에서 접근합니다. 정의역 바깥쪽의 값은 요구하지 않습니다.
10. 정의역에서 연속이라는 표현
유리함수 \(r(x)=\dfrac1{x-2}\)는 \(x=2\)에서 정의되지 않지만, 자신의 정의역인 \(( -\infty,2)\cup(2,\infty)\)의 모든 점에서는 연속입니다.
따라서 다음 두 문장은 서로 다릅니다.
- “\(r\)은 자신의 정의역에서 연속이다” — 참
- “\(r\)은 모든 실수에서 연속이다” — 거짓
연속을 말할 때는 어느 점이나 어느 구간을 대상으로 하는지 함께 확인해야 합니다.
11. 그래프에서 연속성 읽기
- 판정할 \(x=a\)의 닫힌 점을 찾아 \(f(a)\)를 읽습니다.
- 왼쪽 곡선과 오른쪽 곡선이 향하는 높이를 각각 읽습니다.
- 좌우 높이가 다르면 양쪽 극한이 없으므로 즉시 불연속입니다.
- 좌우 높이가 같으면 그 높이와 닫힌 점의 높이를 비교합니다.
열린 점 하나가 보인다고 무조건 극한이 없는 것은 아닙니다. 열린 점의 양쪽 곡선이 같은 높이로 접근하면 극한은 존재할 수 있습니다.
12. 자주 하는 실수
- 함수값이 존재하면 자동으로 연속이라고 판단합니다.
- 좌극한과 우극한이 같은지 확인하지 않고 대입값만 비교합니다.
- 조각함수에서 등호가 포함되지 않은 식으로 함수값을 구합니다.
- 제거가능 불연속과 점프 불연속을 모두 “구멍”이라고 부릅니다.
- 닫힌구간의 끝점에서도 정의역 바깥쪽의 양쪽 극한을 요구합니다.
- 정의역에서 연속이라는 말과 모든 실수에서 연속이라는 말을 혼동합니다.
13. 핵심 정리
- 연속 판정은 함수값 존재 → 양쪽 극한 존재 → 두 값의 일치 순서로 진행합니다.
- 조각함수는 식이 바뀌는 경계점에서 좌극한·우극한·함수값을 비교합니다.
- 유한한 극한이 존재하는 불연속만 한 점의 함수값을 바꾸어 제거할 수 있습니다.
- 닫힌구간의 끝점에서는 구간 안쪽에서의 한쪽 연속을 확인합니다.
- \(f(2)=5\), \(\lim_{x\to2}f(x)=4\)일 때 연속 여부와 실패한 조건을 쓰세요.
- \(g(x)=\begin{cases}x+3,&x<2\\kx-1,&x\ge2\end{cases}\)가 \(x=2\)에서 연속이 되도록 \(k\)를 구하세요.
- \(\lim_{x\to-1}h(x)=3\)이고 \(h(-1)\)이 정의되지 않았을 때 불연속 유형과 고치는 방법을 쓰세요.
풀이와 답 확인
- 극한값 4와 함수값 5가 다르므로 세 번째 조건이 실패합니다. 따라서 \(x=2\)에서 불연속입니다.
- 좌극한은 \(2+3=5\), 우극한과 함수값은 \(2k-1\)입니다. \(2k-1=5\)에서 \(k=3\)입니다.
- 유한한 극한은 존재하지만 함수값이 없으므로 제거가능 불연속입니다. \(h(-1)=3\)으로 정의하면 연속이 됩니다.