22개정 · 함수의 극한과 연속

연속함수의 성질

이미 연속인 함수들을 결합하면 어떤 함수가 만들어질까요? 닫힌구간의 연속함수는 최댓값·최솟값을 실제로 가지며, 두 높이 사이의 값을 건너뛰지 않습니다. 이 성질을 식의 연속성 판정과 방정식의 실근 존재에 연결해 봅시다.

학습 목표

연속함수의 합·차·곱·몫과 합성이 연속이 되는 조건을 설명할 수 있습니다.
다항함수, 유리함수, 근호함수의 연속 구간을 정의역과 함께 판정할 수 있습니다.
최대·최소 정리와 중간값 정리의 전제와 결론을 구분할 수 있습니다.
함숫값의 부호로 방정식의 실근이 존재하는 구간을 찾을 수 있습니다.

닫힌구간의 연속함수가 주는 두 가지 보장곡선은 절대최댓값과 절대최솟값을 실제로 가지며, 양 끝의 함숫값 사이에 있는 높이 \(N\)을 적어도 한 번 지납니다.

정리를 적용하는 공통 순서

대상: 함수와 점 또는 구간을 확인합니다.
전제: 연속성, 닫힌구간, 분모가 0이 아님 등의 조건을 검토합니다.
정리: 조건에 맞는 연속함수의 성질을 선택합니다.
결론: 정리가 보장하는 범위까지만 말하고 존재와 유일성을 구분합니다.

1. 사칙연산으로 만든 함수의 연속성

두 함수 \(f\), \(g\)가 \(x=a\)에서 연속이고 \(k\)가 상수이면 다음 함수들도 \(x=a\)에서 연속입니다.

\[kf,\qquad f+g,\qquad f-g,\qquad fg\]

몫은 분모가 0이 아닌 조건이 더 필요합니다.

\[g(a)\ne0\quad\Longrightarrow\quad \frac{f}{g}\text{는 }x=a\text{에서 연속}\]

2. 기본 함수의 연속 구간

함수	연속인 곳	주의할 조건
다항함수	모든 실수	없음
유리함수	분모가 0이 아닌 모든 점	분모의 영점 제외
\(\sqrt{u(x)}\)	\(u(x)\ge0\)인 정의역 안	실수 범위의 근호 조건
합성함수	안쪽 출력에서 바깥 함수가 연속인 곳	합성함수의 정의역

“기본 함수는 연속이다”는 말은 언제나 그 함수가 정의되는 곳에서라는 조건과 함께 읽어야 합니다.

3. 사칙연산 예제

문제: \(h(x)=\dfrac{x^2+1}{x-3}\)이 \(x=1\)에서 연속인지 판단하세요.

분자와 분모는 다항함수이고 \(1-3=-2\ne0\)이므로 몫의 연속성 조건을 만족합니다.

\[h(1)=\frac{1^2+1}{1-3}=-1\]

결론: \(h\)는 \(x=1\)에서 연속이고 \(\lim_{x\to1}h(x)=h(1)=-1\)입니다. 단, \(x=3\)에서는 정의되지 않습니다.

4. 합성함수의 연속

\(f\)가 \(x=a\)에서 연속이고 \(g\)가 \(f(a)\)에서 연속이면 \(g\circ f\)는 \(x=a\)에서 연속입니다.

\[\lim_{x\to a}g(f(x))=g\left(\lim_{x\to a}f(x)\right)=g(f(a))\]

\(\sqrt{x^2+5}\)는 모든 실수에서 연속입니다. 반면 \(\sqrt{x-2}\)는 실수 범위에서 \(x\ge2\)일 때만 정의되고 그 정의역에서 연속입니다.

5. 닫힌구간이 특별한 이유

닫힌구간 \([a,b]\)은 양 끝점을 포함합니다. 구간 전체에서 연속이려면 내부에서 연속이고 다음 한쪽 연속 조건도 만족해야 합니다.

\[\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a),\qquad \lim_{x\to b^-}f(x)=f(b)\]

6. 최대·최소 정리

\(f\)가 닫힌구간 \([a,b]\)에서 연속이면 \(f\)는 그 구간에서 절대최댓값과 절대최솟값을 반드시 가집니다.

\[\exists\,x_M,x_m\in[a,b]\quad f(x_m)\le f(x)\le f(x_M)\quad(\forall x\in[a,b])\]

이 정리는 극값의 존재를 보장하지만 그 위치나 유일성은 알려 주지 않습니다.

7. 최대·최소 정리 예제

\(f(x)=(x-1)^2+2\)는 \([-1,3]\)에서 연속입니다. 제곱항은 \(x=1\)에서 가장 작고, 양 끝점에서 가장 큽니다.

\[f(1)=2,\qquad f(-1)=f(3)=6\]

답: 절대최솟값은 2, 절대최댓값은 6입니다. 최댓값은 서로 다른 두 점에서 가질 수도 있습니다.

8. 전제가 빠지면 결론은 보장되지 않음

\(f(x)=x\), \(0<x<1\): 연속이지만 열린구간이므로 최댓값과 최솟값을 갖지 않습니다.
\(g(x)=1/x\), \([-1,1]\): \(x=0\)에서 정의되지 않으므로 구간 전체에 정리를 적용할 수 없습니다.

조건이 빠졌다고 항상 극값이 없다는 뜻은 아닙니다. 정리로 그 존재를 보장할 수 없다는 뜻입니다.

9. 중간값 정리

\(f\)가 \([a,b]\)에서 연속이고 \(N\)이 \(f(a)\)와 \(f(b)\) 사이의 값이면, \(f(c)=N\)인 \(c\in[a,b]\)가 적어도 하나 존재합니다.

\[f(c)=N\]

\(N\)이 두 끝값과 다른 중간값이면 \(c\in(a,b)\)입니다. 연속인 그래프는 두 높이 사이를 뛰어넘을 수 없습니다.

10. 방정식의 실근 존재 판정

\[f\text{가 }[a,b]\text{에서 연속이고 }f(a)f(b)<0\Longrightarrow \exists c\in(a,b),\ f(c)=0\]

\(p(x)=x^3+x-1\)은 \([0,1]\)에서 연속이고 \(p(0)=-1\), \(p(1)=1\)입니다.

결론: \(x^3+x-1=0\)은 \((0,1)\)에 적어도 하나의 실근을 가집니다.

11. 존재와 유일성은 다름

중간값 정리는 “적어도 하나 존재한다”는 결론만 줍니다.
\(f(a)f(b)<0\)은 연속함수의 근 존재를 위한 충분조건이지 필요조건은 아닙니다.
\((x-1)^2\)은 \([0,2]\)의 양 끝에서 모두 1이지만 \(x=1\)에서 0입니다.
부호가 바뀌어도 함수가 연속이 아니면 0을 지나지 않고 점프할 수 있습니다.

12. 이분법으로 근의 구간 좁히기

\([a,b]\)에서 \(f(a)f(b)<0\)인지 확인합니다.
중점 \(m=\dfrac{a+b}{2}\)와 \(f(m)\)의 부호를 구합니다.
\([a,m]\), \([m,b]\) 중 부호가 다른 구간을 선택합니다.
필요한 정확도에 도달할 때까지 반복합니다.

이분법은 중간값 정리의 존재 보장을 수치적인 근의 근삿값으로 연결합니다.

13. 정리 선택 비교

정리	핵심 전제	보장하는 결론	보장하지 않는 것
사칙연산·합성	재료 함수의 연속성과 정의역	새 함수의 연속성	정의역 밖의 연속성
최대·최소 정리	닫힌구간 전체에서 연속	절대최댓값·절대최솟값	위치와 유일성
중간값 정리	닫힌구간 전체에서 연속	끝값 사이의 모든 값	위치와 개수

14. 자주 하는 실수

몫의 분모나 합성함수의 정의역을 확인하지 않습니다.
열린구간에서 최대·최소 정리를 적용합니다.
연속성을 확인하지 않고 부호만으로 근의 존재를 결론 냅니다.
중간값 정리로 근의 정확한 값이나 유일성까지 알 수 있다고 생각합니다.
끝값의 부호가 같으면 근이 없다고 단정합니다.

15. 핵심 정리

연속함수의 사칙연산과 합성은 정의되는 범위에서 연속성을 보존합니다.
닫힌구간의 연속함수는 절대최댓값과 절대최솟값을 실제로 가집니다.
닫힌구간의 연속함수는 두 끝값 사이의 모든 값을 가집니다.
연속성과 부호 변화를 함께 확인하면 실근의 존재를 보일 수 있습니다.
정리는 위치·개수·유일성을 자동으로 보장하지 않습니다.

Checkpoint

\(q(x)=\dfrac{x^2+4}{x+2}\)는 \([-1,2]\)에서 연속인가요?
\(f(x)=(x-1)^2+2\)의 \([-1,3]\)에서 절대최댓값과 절대최솟값을 구하세요.
\(p(x)=x^3-2x-2\)가 \((1,2)\)에서 실근을 적어도 하나 갖는 이유를 설명하세요.
\((x-1)^2\)은 양 끝값의 부호가 같은데도 \((0,2)\)에 근이 있습니다. 왜 모순이 아닌가요?

풀이와 답 확인

분자와 분모는 다항함수이고 \([-1,2]\)에서 \(x+2\ne0\)이므로 연속입니다.
\(x=1\)에서 최솟값 2, 양 끝점에서 최댓값 6을 가집니다.
다항함수이므로 연속이고 \(p(1)=-3\), \(p(2)=2\)로 부호가 다르므로 중간값 정리를 적용할 수 있습니다.
부호 변화는 근 존재의 충분조건이지 필요조건이 아닙니다. 그래프가 \(x=1\)에서 \(x\)축에 닿고 되돌아갈 수 있습니다.