22개정 · 미분
미분계수와 도함수
미분계수 \(f'(a)\)는 한 점에서 얻는 하나의 수이고, 도함수 \(f'(x)\)는 입력 \(x\)마다 미분계수를 대응시키는 새로운 함수입니다. 차분몫을 정리한 뒤 극한을 취하는 첫 원리 계산에서 두 개념의 차이를 분명히 해 봅시다.
학습 목표
- 미분계수를 차분몫의 극한으로 정의하고 그 의미를 설명할 수 있습니다.
- 미분계수의 정의를 사용해 간단한 함수의 \(f'(a)\)를 계산할 수 있습니다.
- 한 점의 미분계수와 함수 전체의 도함수를 구분할 수 있습니다.
- 미분계수와 도함수의 여러 표기법을 정확히 읽을 수 있습니다.
- 좌미분계수와 우미분계수를 비교해 미분가능성을 판정할 수 있습니다.
- 함수와 도함수의 그래프를 기울기와 부호로 연결할 수 있습니다.
첫 원리 계산의 공통 순서
- \(f(a+h)\)를 정확하게 구합니다.
- \(f(a+h)-f(a)\)를 전개하고 정리합니다.
- \(h\ne0\)인 상태에서 공통인수 \(h\)를 약분합니다.
- 정리된 식에서 \(h\to0\)의 극한을 계산합니다.
- 결과가 \(f'(a)\)인지 \(f'(x)\)인지 확인합니다.
1. 한 점에서의 미분계수
함수 \(f\)가 \(x=a\)를 포함하는 열린구간에서 정의되어 있을 때, 다음 극한이 유한한 값으로 존재하면 그 값을 \(x=a\)에서의 미분계수라고 합니다.
미분계수는 그래프의 점 \((a,f(a))\)에서 접선의 기울기이고, \(x=a\)에서 \(f\)의 순간변화율입니다.
2. 왜 바로 \(h=0\)을 넣지 않는가?
차분몫은 두 서로 다른 점을 잇는 할선의 기울기이므로 \(h\ne0\)에서만 정의됩니다. \(h=0\)을 직접 대입하면 분모가 0입니다.
먼저 \(h\ne0\)인 주변에서 식을 약분·정리한 다음, 그 값들이 어디로 가까워지는지 극한을 구합니다. 극한은 \(h=0\)에서 원래 차분몫의 값을 요구하지 않습니다.
3. 첫 원리 예제 — \(f(x)=x^2\)
\(x=a\)에서 미분계수를 구해 봅시다.
결론: \(x=a\)에서의 미분계수는 \(f'(a)=2a\)입니다. 예를 들어 \(f'(3)=6\)입니다.
4. 한 점만 계산하는 예제
문제: \(g(x)=x^2-3x+1\)의 \(x=2\)에서 미분계수를 정의로 구하세요.
답: \(g'(2)=1\). 이것은 하나의 점에서 얻은 하나의 수입니다.
5. 도함수의 정의
고정된 \(a\) 대신 움직이는 입력 \(x\)를 사용하여 미분계수를 계산하면 도함수를 얻습니다.
이 극한이 존재하는 모든 \(x\)에 미분계수 \(f'(x)\)를 대응시킨 것이 도함수입니다. 원래 함수 \(f\)가 높이를 알려 준다면, 도함수 \(f'\)는 그 높이가 변하는 방향과 빠르기를 알려 줍니다.
6. 미분계수와 도함수 비교
| 구분 | 미분계수 \(f'(a)\) | 도함수 \(f'(x)\) |
|---|---|---|
| 대상 | 특정한 한 점 \(x=a\) | 미분가능한 여러 입력 \(x\) |
| 결과 | 하나의 수 | 새로운 함수 |
| 뜻 | 그 점의 접선 기울기 | 입력에 따른 접선 기울기의 변화 |
| 예 | \(f'(2)=4\) | \(f'(x)=2x\) |
\(f'(2)\)를 묻는 문제에 \(2x\)만 쓰거나, \(f'(x)\)를 묻는 문제에 숫자 하나만 쓰지 않도록 주의하세요.
7. 첫 원리로 도함수 구하기
\(f(x)=x^2+3x-1\)에 정의를 적용합니다.
답: \(f'(x)=2x+3\). 따라서 \(f'(1)=5\), \(f'(-2)=-1\)처럼 필요한 점의 미분계수를 바로 구할 수 있습니다.
8. 분수함수도 정의로 계산하기
\(f(x)=1/x\;(x\ne0)\)의 도함수를 첫 원리로 구해 봅시다.
결론: \(f'(x)=-1/x^2\;(x\ne0)\). 원래 함수가 정의되지 않는 \(x=0\)에서는 도함수도 정의되지 않습니다.
9. 여러 가지 미분 표기
\(y=f(x)\)일 때 다음 표기는 모두 \(x\)에 대한 도함수를 나타냅니다.
특정 점 \(x=a\)에서의 미분계수는 다음처럼 씁니다.
\(\dfrac{dy}{dx}\)는 변화율의 의미를 강조하는 기호이지만, 이 단계에서는 보통 두 보통수의 분수처럼 임의로 분리하지 않습니다.
10. 좌미분계수와 우미분계수
양쪽 미분계수가 존재하려면 \(h\)가 음수에서 0으로 갈 때와 양수에서 0으로 갈 때 차분몫이 같은 유한값에 가까워져야 합니다.
11. 미분계수가 존재하지 않는 예
\(f(x)=|x|\)를 \(x=0\)에서 살펴보면
\(h<0\)이면 값은 \(-1\), \(h>0\)이면 값은 1입니다.
결론: 좌우 미분계수가 다르므로 \(f'(0)\)은 존재하지 않습니다. 그래프에서는 뾰족한 모서리로 보입니다.
12. 도함수의 정의역
도함수의 정의역은 원래 함수가 미분가능한 입력들의 집합입니다. 원래 함수의 정의역과 항상 같지는 않습니다.
- \(f(x)=x^2\): 모든 실수에서 미분가능하므로 \(f'\)의 정의역도 모든 실수입니다.
- \(g(x)=|x|\): \(x=0\)에서 미분 불가능하므로 \(g'\)의 정의역에서 0을 제외합니다.
- \(r(x)=1/x\): 원래 함수가 정의되지 않는 0은 도함수의 정의역에도 없습니다.
끝점에서 한쪽 기울기를 구할 수 있어도, 교과서가 사용하는 양쪽 미분계수의 정의에서는 열린구간 내부의 미분가능성과 구분해서 다룹니다.
13. 도함수 그래프 읽기
| 원래 함수 \(f\)의 모습 | 도함수 \(f'\)의 값 |
|---|---|
| 오른쪽으로 갈수록 올라감 | \(f'(x)>0\) |
| 오른쪽으로 갈수록 내려감 | \(f'(x)<0\) |
| 수평접선 | \(f'(x)=0\) |
| 기울기가 점점 커짐 | \(f'(x)\)의 값이 증가 |
\(f'(x)=0\)은 원래 함수값이 0이라는 뜻이 아니라, 그 점에서 접선이 수평이라는 뜻입니다.
14. 자주 하는 실수
- \(f(x+h)\)를 \(f(x)+f(h)\)로 잘못 씁니다.
- 괄호 없이 빼서 \(-f(x)\)의 부호를 분배하지 않습니다.
- \(h=0\)을 먼저 대입하고 \(0/0\)에서 계산을 멈춥니다.
- \(h\)를 약분할 때 일부 항에만 나눕니다.
- \(f'(a)\)라는 수와 \(f'(x)\)라는 함수를 혼동합니다.
- 좌우 차분몫 중 한쪽만 확인하고 미분가능하다고 판단합니다.
- \(f'(x)=0\)을 \(f(x)=0\)과 같은 식으로 해석합니다.
15. 핵심 정리
- 미분계수는 차분몫의 양쪽 극한이며 한 점에서의 접선 기울기입니다.
- 도함수는 각 입력에서의 미분계수를 모아 만든 새로운 함수입니다.
- 첫 원리에서는 \(h\ne0\)에서 식을 정리한 뒤 \(h\to0\)의 극한을 구합니다.
- 좌미분계수와 우미분계수가 같은 유한값일 때만 양쪽 미분계수가 존재합니다.
- 도함수의 값과 부호는 원래 함수의 기울기와 변화 방향을 나타냅니다.
- \(f(x)=x^2+2x\)의 \(x=1\)에서 미분계수를 정의로 구하세요.
- \(g(x)=x^2-4x+1\)의 도함수를 첫 원리로 구한 뒤 \(g'(3)\)을 구하세요.
- \(h(x)=|x-2|\)가 \(x=2\)에서 미분가능한지 좌우 미분계수로 판단하세요.
- \(p'(4)=-3\)의 의미를 접선과 순간변화율의 관점에서 설명하세요.
풀이와 답 확인
- \(\dfrac{f(1+h)-f(1)}h=\dfrac{4h+h^2}{h}=4+h\)이므로 \(f'(1)=4\)입니다.
- \(\dfrac{g(x+h)-g(x)}h=2x+h-4\)이므로 \(g'(x)=2x-4\), 따라서 \(g'(3)=2\)입니다.
- 왼쪽에서는 기울기가 \(-1\), 오른쪽에서는 1이므로 좌우 미분계수가 다릅니다. 따라서 \(x=2\)에서 미분가능하지 않습니다.
- \(x=4\)에서 접선의 기울기가 \(-3\)이며, 입력이 그 점에서 증가할 때 출력이 입력 한 단위당 순간적으로 3의 비율로 감소한다는 뜻입니다.