도함수와 함수의 그래프

1. 그래프 개형에 필요한 정보의 순서

1. 정의역과 함수의 연속 여부를 확인합니다.
2. \(x\)절편, \(y\)절편과 대칭성을 찾습니다.
3. 최고차항으로 양 끝부분의 움직임을 판단합니다.
4. 도함수의 영점과 부호를 조사해 증감표를 만듭니다.
5. 극점의 좌표를 원래 함수에서 계산합니다.
6. 모든 정보를 좌표평면에 표시하고 부드럽게 연결합니다.

도함수는 그래프의 방향을 알려 주지만 위치를 모두 알려 주지는 않습니다. 따라서 함수 자체에서 얻는 점과 도함수에서 얻는 방향을 함께 사용해야 합니다.

2. 정의역과 끊김을 먼저 확인하기

다항함수의 정의역은 모든 실수이고 그래프가 끊어지지 않습니다. 따라서 임계점 사이를 자연스럽게 연결할 수 있습니다. 분모나 제곱근이 있는 함수라면 정의되지 않는 값에서 그래프가 나뉠 수 있으므로 도함수를 구하기 전에 정의역부터 써야 합니다.

정의역 밖의 값은 도함수가 존재하지 않더라도 함수 위의 점이 아니며 극점으로 표시할 수 없습니다.

3. 절편과 근의 중복도

\(x\)절편은 \(f(x)=0\), \(y\)절편은 \(f(0)\)으로 구합니다. 다항함수의 인수 \((x-r)^k\)에서 지수 \(k\)는 \(x=r\) 부근의 모습을 알려 줍니다.

중복도만으로 그 점이 극점인지 확정하지 말고 도함수의 부호와 함께 확인해야 합니다.

4. 대칭성을 이용해 계산 줄이기

• \(f(-x)=f(x)\)이면 \(y\)축 대칭인 짝함수입니다.
• \(f(-x)=-f(x)\)이면 원점 대칭인 홀함수입니다.

미분가능한 짝함수의 도함수는 홀함수이고, 홀함수의 도함수는 짝함수입니다. 예를 들어 \(f(x)=x^4-2x^2\)는 짝함수이고 \(f'(x)=4x^3-4x\)는 홀함수입니다.

5. 다항함수의 끝부분

다항함수의 \(|x|\)가 매우 클 때에는 최고차항이 전체 움직임을 결정합니다. \(f(x)=a_nx^n+\cdots\)라면 \(a_nx^n\)의 차수와 계수 부호를 먼저 봅니다.

6. 도함수가 채워 주는 방향 정보

\(f'(x)>0\)이면 \(f\)는 증가하고 \(f'(x)<0\)이면 감소합니다. \(f'(x)=0\)에서는 접선이 수평이지만 도함수의 부호가 바뀌는지를 조사해야 극값 여부를 알 수 있습니다.

\(\displaystyle f':+\to-\Rightarrow \text{극대},\qquad f':-\to+\Rightarrow \text{극소}\)

\(|f'(x)|\)가 클수록 접선의 기울기 절댓값이 커져 그래프가 더 가파르고, 0에 가까우면 비교적 완만합니다.

7. 완전한 예제: \(f(x)=x^3-3x^2\)

함수와 도함수를 인수분해합니다.

\(\displaystyle f(x)=x^2(x-3),\qquad f'(x)=3x(x-2)\)

• 정의역: 모든 실수
• 절편: \((0,0)\), \((3,0)\); \(x=0\)은 이중근
• 끝부분: 양의 최고차항 \(x^3\)이므로 왼쪽은 아래, 오른쪽은 위
• 임계점: \(x=0,2\)

\(f(0)=0\), \(f(2)=-4\)이므로 극대점은 \((0,0)\), 극소점은 \((2,-4)\)입니다. 이 점들과 \((3,0)\), 끝부분을 연결하면 개형이 완성됩니다.

8. \(f\)와 \(f'\) 그래프의 대응

두 그래프의 높이를 직접 비교하는 것이 아니라 \(f\)의 기울기와 \(f'\)의 함수값을 비교해야 합니다.

9. 수평접선이 있어도 방향이 바뀌지 않는 경우

\(f(x)=x^3\)에서 \(f'(x)=3x^2\)이고 \(f'(0)=0\)입니다. 하지만 \(x=0\)의 양쪽에서 \(f'(x)>0\)이므로 그래프는 계속 증가합니다.

도함수 그래프가 \(x\)축을 통과하지 않고 접하기만 하면 원래 함수에 수평접선은 생기지만 극대·극소는 생기지 않을 수 있습니다.

10. 도함수만으로는 세로 위치를 모릅니다

\(f'(x)\)를 알면 증가·감소와 수평접선의 입력값은 알 수 있지만 \(f\)의 정확한 세로 위치는 알 수 없습니다.

\(f(x)\)와 \(f(x)+C\)는 같은 도함수를 가지므로 도함수 그래프가 같아도 원래 함수는 위아래로 이동할 수 있습니다. \(f(a)\) 같은 함수값 하나가 추가되면 위치를 정할 수 있습니다.

11. 도함수 근의 중복도와 원래 함수

\(f'(x)\)가 \(x=c\)에서 단순근을 가지면 부호가 바뀌어 \(f\)에 극값이 생깁니다. 짝수 중복근이면 도함수 부호가 바뀌지 않아 수평접선만 생길 수 있습니다.

예를 들어 \(f'(x)=(x-1)^2(x+2)\)에서 \(x=-2\)는 부호가 바뀌지만 \(x=1\)에서는 바뀌지 않습니다.

12. 조건만으로 가능한 그래프 그리기

\(f(-1)=2\), \(f(1)=-2\)이고 \((-\infty,-1)\), \((1,\infty)\)에서 \(f'>0\), \((-1,1)\)에서 \(f'<0\)이라고 합시다.

그래프는 \((-1,2)\)까지 증가한 뒤 \((1,-2)\)까지 감소하고 다시 증가해야 합니다. 구체적인 곡선은 여러 개 가능하므로 주어진 정보가 보장하는 흐름과 보장하지 않는 세부 모양을 구별해야 합니다.

13. 평행이동과 도함수 그래프

• \(g(x)=f(x)+k\)이면 \(g'(x)=f'(x)\): 세로 이동은 도함수 그래프를 바꾸지 않습니다.
• \(g(x)=f(x-h)\)이면 \(g'(x)=f'(x-h)\): 두 그래프 모두 오른쪽으로 \(h\)만큼 이동합니다.
• \(g(x)=-f(x)\)이면 \(g'(x)=-f'(x)\): 두 그래프 모두 \(x\)축 대칭입니다.

14. 그래프 완성 후 검산 목록

• 그래프가 계산한 모든 절편을 지나나요?
• 양 끝 방향이 최고차항과 일치하나요?
• \(f'>0\)인 곳에서 올라가고 \(f'<0\)인 곳에서 내려가나요?
• 극점의 입력값과 함수값이 정확한가요?
• 도함수의 모든 영점에 수평접선이 있나요?
• 함수의 대칭성이 그래프에도 반영되었나요?

15. 자주 하는 실수와 핵심 정리

• \(f\)의 영점과 \(f'\)의 영점을 같은 점으로 생각합니다.
• 극점의 \(x\)좌표만 구하고 원래 함수에 대입하지 않습니다.
• 도함수 부호만 보고 절편이나 끝부분을 확인하지 않습니다.
• \(f'(c)=0\)이면 무조건 그래프의 방향이 바뀐다고 생각합니다.
• 도함수 그래프의 높이를 원래 함수의 높이로 해석합니다.

핵심: 함수 식은 그래프가 지나야 할 점과 끝부분을 주고, 도함수는 그 점들을 어떤 방향으로 연결해야 하는지를 알려 줍니다.