22개정 · 적분
정적분
정적분은 주어진 구간에서 함수값을 부호와 함께 누적한 하나의 수입니다. 다항함수 \(f\)의 원시함수 \(F\)를 찾으면 \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\)로 계산합니다.
학습 목표
- 정적분의 기호에서 피적분함수, 적분변수, 상한과 하한을 구분할 수 있습니다.
- 다항함수의 원시함수를 이용해 정적분을 정확히 계산할 수 있습니다.
- 구간 교환·구간 분할·선형성 등 정적분의 기본 성질을 적용할 수 있습니다.
- 정적분의 값과 실제 도형의 넓이가 언제 같고 언제 다른지 설명할 수 있습니다.
1. 핵심 정의 — 정적분은 무엇인가?
\(f\)가 닫힌구간 \([a,b]\)에서 연속이고 \(F'(x)=f(x)\)이면, \(a\)에서 \(b\)까지 \(f\)의 정적분을 다음과 같이 정의합니다.
오른쪽은 원시함수의 두 함수값을 뺀 결과이므로 정적분의 값은 함수식이 아니라 하나의 수입니다.
2. 정적분 기호 읽기
| 기호 | 이름 | 뜻 |
|---|---|---|
| \(a\) | 하한 | 누적을 시작하는 \(x\)값입니다. |
| \(b\) | 상한 | 누적을 끝내는 \(x\)값입니다. |
| \(f(x)\) | 피적분함수 | 구간에서 누적할 함수입니다. |
| \(dx\) | 적분변수 표시 | \(x\)에 대하여 적분한다는 뜻입니다. |
\(\int_a^b f(x)\,dx\)는 “\(a\)에서 \(b\)까지 \(f(x)\)를 \(x\)에 대하여 적분한다”라고 읽습니다.
3. 왜 적분상수 \(C\)가 사라지는가?
원시함수를 \(F(x)+C\)로 써도 양 끝점에서 같은 \(C\)가 소거됩니다.
따라서 정적분 계산 결과에는 \(+C\)를 붙이지 않습니다. 어떤 원시함수를 선택해도 정적분의 값은 같습니다.
4. 계산 절차
- 피적분함수의 원시함수 \(F(x)\)를 찾습니다.
- \(\left[F(x)\right]_a^b\) 또는 \(F(b)-F(a)\)로 씁니다.
- 상한 \(b\)를 먼저 대입하고, 하한 \(a\)를 대입한 값을 뺍니다.
- 괄호와 음수 부호를 정리합니다.
- 함수의 부호나 간단한 도형으로 결과가 합리적인지 확인합니다.
5. 구간에 관한 기본 성질
| 상황 | 성질 | 해석 |
|---|---|---|
| 시작점과 끝점이 같음 | \(\int_a^a f(x)\,dx=0\) | 누적할 구간의 길이가 0입니다. |
| 상하한을 교환함 | \(\int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx\) | 누적 방향이 바뀌어 부호가 바뀝니다. |
| 중간점 \(c\)에서 나눔 | \(\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f\) | 인접한 구간의 누적량을 더합니다. |
세 번째 성질은 \(c\)가 \(a\)와 \(b\) 사이일 때 구간을 실제로 두 부분으로 나누는 모습으로 이해할 수 있습니다.
6. 합·차와 상수배의 성질
정적분도 합과 차를 항별로 나눌 수 있고, 상수배를 적분 기호 밖으로 꺼낼 수 있습니다.
단, 곱 \(f(x)g(x)\)을 두 정적분의 곱으로 나누는 성질은 없습니다.
7. 그래프 해석 — 부호 있는 누적
\(a<b\)일 때 그래프가 \(x\)축 위에 있는 부분은 양수, 아래에 있는 부분은 음수로 누적됩니다. 따라서 정적분은 양수·음수·0 중 어느 값도 될 수 있습니다.
8. 완전한 예제 1 — 다항함수 계산
문제: \(\displaystyle \int_0^2(3x^2-4x+1)\,dx\)를 계산하세요.
1단계: 원시함수를 찾습니다.
2단계: 상한의 함수값에서 하한의 함수값을 뺍니다.
답: \(\boxed{2}\)
9. 완전한 예제 2 — 음수 하한 대입
문제: \(\displaystyle \int_{-1}^{2}(2x+3)\,dx\)를 계산하세요.
풀이: 하한이 음수일 때는 \(F(-1)\) 전체를 괄호로 묶어 빼야 합니다.
답: \(\boxed{12}\)
10. 완전한 예제 3 — 값이 0이어도 함수는 0이 아니다
문제: \(\displaystyle \int_0^3(2x-3)\,dx\)를 계산하고 결과를 해석하세요.
\(2x-3\)은 구간에서 계속 0인 함수가 아닙니다. \(x=\frac32\)의 왼쪽에 있는 음의 누적과 오른쪽의 양의 누적이 정확히 상쇄되어 결과가 0입니다.
11. 성질 활용 예제 — 빠진 구간 찾기
문제: \(\int_0^4 f(x)\,dx=7\), \(\int_0^1 f(x)\,dx=-2\)일 때 \(\int_1^4 f(x)\,dx\)를 구하세요.
\(7=-2+\int_1^4 f(x)\,dx\)이므로 \(\int_1^4 f(x)\,dx=9\)입니다.
답: \(\boxed{9}\)
12. 정적분과 부정적분 비교
| 구분 | 부정적분 | 정적분 |
|---|---|---|
| 결과 | 함수들의 모임 \(F(x)+C\) | 하나의 수 \(F(b)-F(a)\) |
| 상하한 | 없음 | 하한 \(a\), 상한 \(b\)가 있음 |
| 적분상수 | \(+C\)를 씀 | \(+C\)를 쓰지 않음 |
| 확인 방법 | 결과를 미분 | 대입·부호·성질로 점검 |
13. 자주 하는 실수
- 빼는 순서 반대: \(F(a)-F(b)\)가 아니라 \(F(b)-F(a)\)입니다.
- 하한 괄호 누락: 특히 하한이 음수이면 \(F(a)\) 전체를 묶어 뺍니다.
- \(+C\)를 붙임: 정적분에서는 같은 상수가 소거되므로 결과에 쓰지 않습니다.
- 상하한을 바꾸고 부호 유지: 상하한을 교환하면 정적분의 부호가 바뀝니다.
- 정적분을 항상 넓이라고 생각함: \(x\)축 아래 부분은 음수로 누적됩니다.
- 적분변수 혼동: \(\int_a^b f(t)\,dt\)에서도 계산은 \(t\)를 기준으로 합니다.
14. 핵심 정리
- 정적분은 주어진 구간에서 함수값을 부호와 함께 누적한 하나의 수입니다.
- 원시함수 \(F\)를 이용해 \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\)로 계산합니다.
- 적분상수는 양 끝점의 차에서 소거되므로 쓰지 않습니다.
- 구간을 나누면 정적분을 더할 수 있고, 상하한을 바꾸면 부호가 바뀝니다.
- 정적분의 값과 실제 넓이를 구분하려면 함수가 \(x\)축 위와 아래에 있는 구간을 확인합니다.
- \(\displaystyle \int_1^3(2x^2-x+1)\,dx\)를 계산하세요.
- \(\displaystyle \int_2^{-1}(4x+1)\,dx\)를 계산하고 상하한 교환 성질로 확인하세요.
- \(\int_{-2}^{1}f(x)\,dx=5\), \(\int_{-2}^{4}f(x)\,dx=1\)일 때 \(\int_1^4f(x)\,dx\)를 구하세요.
- \(\int_0^2 f(x)\,dx=0\)이라는 사실만으로 \(f(x)=0\)이라고 결론 내릴 수 없는 이유를 설명하세요.
풀이와 답 확인
- \(\left[\frac23x^3-\frac12x^2+x\right]_1^3=\frac{46}{3}\)입니다.
- \(\left[2x^2+x\right]_2^{-1}=1-10=-9\)입니다. 반대 방향의 \(\int_{-1}^{2}(4x+1)\,dx=9\)와 부호가 반대입니다.
- \(1=5+\int_1^4f(x)\,dx\)이므로 답은 \(-4\)입니다.
- \(x\)축 아래의 음의 누적과 위의 양의 누적이 상쇄될 수 있기 때문입니다. 예를 들어 \(\int_0^3(2x-3)\,dx=0\)이지만 함수는 0이 아닙니다.