22개정 · 적분
미적분의 기본정리와 활용
미적분의 기본정리는 미분과 적분이 서로 반대 방향의 과정임을 보여 줍니다. 연속함수를 누적해 만든 함수를 미분하면 원래 함수가 나오고, 변화율을 적분하면 두 시점 사이의 순변화량을 얻습니다.
학습 목표
- 미적분의 기본정리의 두 관계를 식과 문장으로 설명할 수 있습니다.
- 원시함수를 이용해 다항함수의 정적분을 계산할 수 있습니다.
- 누적함수 \(A(x)=\int_a^x f(t)\,dt\)의 함수값과 도함수를 구할 수 있습니다.
- 초기값과 변화율을 이용해 순변화량과 최종값을 구할 수 있습니다.
1. 핵심 답 — 기본정리는 무엇을 연결하는가?
연속함수 \(f\)에 대해 미적분의 기본정리는 다음 두 방향을 연결합니다.
첫 식은 ‘누적한 뒤 미분하기’, 둘째 식은 ‘변화율을 적분해 전체 변화 찾기’를 나타냅니다.
2. 정리를 사용할 때의 조건과 역할
| 대상 | 조건 또는 역할 |
|---|---|
| \(f\) | 다루는 구간에서 연속인 함수로 생각합니다. |
| \(F\) | \(F'(x)=f(x)\)를 만족하는 \(f\)의 원시함수입니다. |
| \(a,b\) | 변화를 누적할 고정된 시작점과 끝점입니다. |
| \(A(x)\) | \(a\)부터 움직이는 끝점 \(x\)까지의 누적값을 돌려주는 함수입니다. |
이 강의에서는 2022 개정 미적분Ⅰ 범위에 맞춰 다항함수와 그 변화율을 중심으로 적용합니다.
3. 방향 ① — 원시함수로 정적분 계산하기
\(f\)의 원시함수 \(F\)를 찾으면 복잡한 누적 과정을 두 함수값의 차로 계산할 수 있습니다.
어떤 원시함수를 선택해도 상수항은 \(F(b)-F(a)\)에서 소거됩니다. 따라서 정적분 결과에는 \(+C\)를 쓰지 않습니다.
4. 방향 ② — 누적함수를 미분하기
시작점 \(a\)를 고정하고 끝점 \(x\)를 움직이면 정적분의 값도 \(x\)에 따라 바뀌므로 하나의 함수가 됩니다.
\(A'(x)\)는 누적값이 \(x\) 근처에서 얼마나 빠르게 증가하거나 감소하는지를 뜻하며, 그 순간의 함수값 \(f(x)\)와 같습니다.
5. 왜 누적함수의 도함수가 원래 함수인가?
\(x\)가 \(x+\Delta x\)로 조금 증가하면 누적량에 폭 \(\Delta x\), 높이가 약 \(f(x)\)인 가느다란 조각이 더해집니다.
양변을 \(\Delta x\)로 나누고 \(\Delta x\to0\)으로 보내면 \(A'(x)=f(x)\)라는 관계를 직관적으로 이해할 수 있습니다.
6. 그래프로 보는 누적함수
7. 적분변수 \(t\)와 끝점 \(x\) 구분하기
\(A(x)=\int_a^x f(t)\,dt\)에서 \(t\)는 적분 과정 안에서만 사용하는 변수이고, \(x\)는 함수 \(A\)의 입력이자 움직이는 상한입니다.
| 기호 | 역할 | 값을 바꾸면? |
|---|---|---|
| \(t\) | 적분변수 | \(u\) 같은 다른 문자로 바꿔도 적분값은 같습니다. |
| \(x\) | 움직이는 끝점 | 누적구간이 바뀌므로 \(A(x)\)의 값이 바뀝니다. |
| \(a\) | 고정된 시작점 | \(A(a)=0\)이 됩니다. |
예를 들어 \(\int_0^x t^2\,dt\)와 \(\int_0^x u^2\,du\)는 같은 함수입니다.
8. 완전한 예제 1 — 기본정리로 정적분 계산
문제: \(\displaystyle \int_{-1}^{2}(3x^2-2x+1)\,dx\)를 계산하세요.
원시함수: \(F(x)=x^3-x^2+x\)를 선택합니다.
답: \(\boxed{9}\)
9. 완전한 예제 2 — 누적함수 구하고 미분하기
문제: \(A(x)=\int_1^x(3t^2-2t)\,dt\)일 때 \(A(x)\), \(A'(x)\), \(A(1)\)을 구하세요.
따라서 \(A'(x)=3x^2-2x\)로 원래 피적분함수가 나오고, \(A(1)=1-1=0\)입니다.
답: \(\boxed{A(x)=x^3-x^2,\ A'(x)=3x^2-2x,\ A(1)=0}\)
10. 완전한 예제 3 — 변화율과 한 점으로 함수 복원
문제: \(Q'(x)=6x-4\), \(Q(1)=3\)일 때 \(Q(x)\)를 구하세요.
시작값에 1부터 \(x\)까지의 순변화량을 더합니다.
검산: \(Q'(x)=6x-4\)이고 \(Q(1)=3-4+4=3\)이므로 두 조건을 모두 만족합니다.
11. 순변화량 정리
양 \(Q(t)\)의 변화율이 \(Q'(t)\)이면 \(a\)부터 \(b\)까지의 순변화량은 변화율의 정적분입니다.
변화율이 음수인 구간은 전체 양을 감소시킵니다. 따라서 순변화량은 양수·음수·0이 될 수 있습니다.
12. 완전한 예제 4 — 유입률로 최종 양 구하기
문제: 처음 물이 \(5\,\mathrm{L}\) 들어 있는 용기에 \(0\le t\le3\)분 동안 \(R(t)=2t+1\,\mathrm{L/min}\)의 비율로 물이 들어옵니다. 3분 후 물의 양을 구하세요.
순변화량:
최종값: \(5+12=17\,\mathrm{L}\)입니다.
답: \(\boxed{17\,\mathrm{L}}\)
비율의 단위 \(\mathrm{L/min}\)에 시간 \(dt\)를 누적하면 결과 단위가 \(\mathrm{L}\)가 되는지도 확인할 수 있습니다.
13. 자주 하는 실수
- 두 방향을 혼동: \(\int_a^b f\)는 수이고, \(\int_a^x f(t)\,dt\)는 \(x\)에 따른 함수입니다.
- 연속성 조건 생략: 기본정리를 적용할 때는 다루는 구간에서 함수가 연속인지 확인합니다.
- 적분변수와 상한 혼용: 움직이는 상한 \(x\)와 적분변수 \(t\)를 구분합니다.
- 초기값을 더하지 않음: 변화율의 적분은 순변화량이므로 최종 양에는 초기값을 더합니다.
- 순변화량을 항상 양수로 생각: 음의 변화율은 양을 감소시키며 적분값도 음수가 될 수 있습니다.
- 정적분 결과에 \(+C\) 사용: 끝점의 차에서는 적분상수가 소거됩니다.
14. 핵심 정리
- 연속함수를 누적한 함수 \(A(x)=\int_a^x f(t)\,dt\)는 \(A'(x)=f(x)\)를 만족합니다.
- 원시함수 \(F\)를 알면 \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\)로 정적분을 계산합니다.
- 누적함수에서 적분변수와 움직이는 끝점은 서로 다른 역할을 합니다.
- 변화율의 정적분은 순변화량이며, 최종값은 초기값에 순변화량을 더한 값입니다.
- 식의 단위와 초기조건을 확인하면 계산 결과의 의미를 점검할 수 있습니다.
- \(\displaystyle \int_0^3(2x^2-4x+1)\,dx\)를 계산하세요.
- \(A(x)=\int_2^x(t^2+1)\,dt\)일 때 \(A(x)\), \(A'(x)\), \(A(2)\)를 구하세요.
- \(P'(t)=4t-3\), \(P(0)=7\)일 때 \(P(2)\)를 구하세요.
- 변화율이 일부 구간에서 음수일 때 ‘최종값=초기값+정적분’ 공식을 어떻게 해석해야 하는지 설명하세요.
풀이와 답 확인
- \(\left[\frac23x^3-2x^2+x\right]_0^3=18-18+3=3\)입니다.
- \(A(x)=\left[\frac13t^3+t\right]_2^x=\frac13x^3+x-\frac{14}{3}\), \(A'(x)=x^2+1\), \(A(2)=0\)입니다.
- \(P(2)=P(0)+\int_0^2(4t-3)\,dt=7+\left[2t^2-3t\right]_0^2=7+2=9\)입니다.
- 음의 변화율은 양을 감소시키므로 그 구간은 정적분에 음수로 반영됩니다. 정적분 전체는 증가량과 감소량을 합친 순변화량이며, 이를 초기값에 더하면 최종값을 얻습니다.