방정식과 부등식

정의와 핵심 도구

\(ax^2+bx+c=0\;(a\ne0)\)의 판별식은 실근의 개수를 알려 줍니다.

\(D>0\)이면 서로 다른 두 실근, \(D=0\)이면 중근, \(D<0\)이면 실근이 없습니다. 부등식은 근의 개수뿐 아니라 이차함수의 방향과 경계 포함 여부까지 확인합니다.

풀이 예시

문제: (x^2-5x+6<0)을 푸세요.

방법 선택: 두 근이 쉽게 보이므로 인수분해로 경계값을 찾고 부호를 판단합니다. 최고차항의 계수가 양수이므로 그래프는 위로 열리고 두 근 사이에서 음수입니다.

답: (2<x<3)입니다. 원래 부등호가 엄격한 <이므로 경계 (2,3)은 포함하지 않습니다.

검산

구간 안의 (x=2.5)를 대입하면 식의 값은 음수이고, 바깥의 (x=0)을 대입하면 양수입니다. 경계에서는 식의 값이 0이므로 해에 포함되지 않습니다.

자주 하는 실수

• 근만 구한 뒤 부등호에 맞는 구간을 확인하지 않는 오류.
• 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때 부등호 방향을 바꾸지 않는 오류.
• (D<0)이면 모든 이차부등식의 해가 없다고 단정하는 오류. 최고차항 계수와 부등호를 함께 봐야 합니다.

핵심 정리

• 방정식의 근은 부등식 구간을 나누는 경계가 됩니다.
• 부호표 또는 그래프로 각 구간의 부호를 확인합니다.
• ≤, ≥에서는 등호 성립 여부에 따라 경계를 포함합니다.