공통수학1 · 대표 보강 강의
다항식
다항식은 음이 아닌 정수 지수의 문자 거듭제곱에 계수를 곱한 항들을 유한 개 더한 식입니다. 다항식 문제에서는 전개 자체보다 항의 구조를 읽고 항등식, 나머지정리, 인수정리 중 알맞은 도구를 고르는 것이 중요합니다.
정의
\[P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\quad(a_n\ne0)\]
\(a_n\)은 최고차항의 계수이고 \(n\)은 다항식의 차수입니다. 동류항은 문자와 지수가 같으므로 계수끼리 더하거나 뺄 수 있습니다.
나머지정리와 인수정리
\[P(x)=(x-a)Q(x)+P(a)\]
(x=a)를 대입하면 나누어지는 항이 0이 되어 나머지 (P(a))만 남습니다. 따라서 (P(a)=0)이면 (x-a)는 (P(x))의 인수입니다.
풀이 예시
문제: (P(x)=x^3-2x+5)를 (x-2)로 나눌 때의 나머지를 구하세요.
방법 선택: 몫 전체가 아니라 나머지만 묻기 때문에 직접 나눗셈보다 나머지정리가 짧습니다.
\[P(2)=2^3-2(2)+5=8-4+5=9\]
답: 나머지는 (9)입니다.
자주 하는 실수
- (x-a)로 나눌 때 (P(-a))를 계산하는 부호 오류.
- 일부 x값에서만 성립하는 방정식과 모든 x에서 성립하는 항등식을 혼동하는 오류.
- 인수분해 결과를 다시 전개해 확인하지 않는 습관.
핵심 정리
- 다항식의 차수와 계수는 같은 차수끼리 정리한 뒤 읽습니다.
- 나머지만 필요하면 (P(a))를 먼저 확인합니다.
- (P(a)=0)과 (x-a)가 인수라는 명제는 서로 동치입니다.
연습 연결
퀴즈와 연습문제에서 계수 비교, 나머지정리, 인수정리를 서로 구분해 적용해 보세요.
교육과정 공식 자료: 교육부 고시 제2022-33호(2022 개정 교육과정). 설명과 예제는 사이트 학습 흐름에 맞게 독립적으로 작성했습니다.